R3 No. 146 R3 C34

HEXAGONAL AXES

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/31/31/3); (2)

General position

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates

(0, 0, 0)+  (2/31/31/3)+  (1/32/32/3)+
 9 b 1
 (1) x, y, z (2) -y, x - y, z (3) -x + y, -x, z

I Maximal translationengleiche subgroups

 [3] R1 (1, P1) 1+ a, b, 1/3(-a - 2b + c)

II Maximal klassengleiche subgroups

• Loss of centring translations
 [3] P32 (145) 1; 2 + (1/3, 2/3, 2/3); 3 + (2/3, 1/3, 1/3) 0, 1/3, 0 [3] P31 (144) 1; 2 + (2/3, 1/3, 1/3); 3 + (1/3, 2/3, 2/3) 1/3, 1/3, 0 [3] P3 (143) 1; 2; 3
• Enlarged unit cell

[2] a' = -b, b' = a + b, c' = 2c

 R3 (146) <2> -b, a + b, 2c

[4] a' = -2b, b' = 2a + 2b

 R3 (146) <2> -2b, 2a + 2b, c R3 (146) <2 + (1, -1, 0)> -2b, 2a + 2b, c 1, 0, 0 R3 (146) <2 + (1, 2, 0)> -2b, 2a + 2b, c 0, 1, 0 R3 (146) <2 + (2, 1, 0)> -2b, 2a + 2b, c 1, 1, 0
• Series of maximal isomorphic subgroups

[p] c' = pc

 R3 (146) <2> -b, a + b, pc p prime; p = 2 or p = 6n - 1 no conjugate subgroups
 R3 (146) <2> a, b, pc prime p = 6n + 1 no conjugate subgroups

[p2] a' = -pb, b' = pa + pb

 R3 (146) <2 + (u + v, -u + 2v, 0)> -pb, pa + pb, c u, v, 0 p prime; 0 ≤ u < p; 0 ≤ v < p p2 conjugate subgroups for p = 2 or p = 6n - 1

[p = q2 + r2 - qr] a' = (q - r)a - rb, b' = ra + qb

 R3 (146) <2 + (u, -u, 0)> (q - r)a - rb, ra + qb, c u, 0, 0 prime p = 6n + 1; q > 0; r > 0; q ≠ r; q + r = 3n' + 1; 0 ≤ u < p p conjugate subgroups for each pair of q and r

I Minimal translationengleiche supergroups

 [2] R-3 (148); [2] R32 (155); [2] R3m (160); [2] R3c (161); [4] P23 (195); [4] F23 (196); [4] I23 (197); [4] P213 (198); [4] I213 (199)

II Minimal non-isomorphic klassengleiche supergroups

 none
• Decreased unit cell
 [3] a' = 1/3(2a + b), b' = 1/3(-a + b), c' = 1/3c  P3 (143)
 R3 No. 146 R3 C34

RHOMBOHEDRAL AXES

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2)

General position

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates

 3 b 1
 (1) x, y, z (2) z, x, y (3) y, z, x

I Maximal translationengleiche subgroups

 [3] R1 (1, P1) 1

II Maximal klassengleiche subgroups

• Loss of centring translations
 none
• Enlarged unit cell

[2] a' = a + c, b' = a + b, c' = b + c

 R3 (146) <2> a + c, a + b, b + c

[3] a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c

 P32 (145) <2 + (1, 1, 0)> a - b, b - c, a + b + c 0, 1/3, -1/3 P31 (144) <2 + (1, 0, 0)> a - b, b - c, a + b + c 1/3, 0, -1/3 P3 (143) <2> a - b, b - c, a + b + c

[4] a' = a - b + c, b' = a + b - c, c' = -a + b + c

 R3 (146) <2> a - b + c, a + b - c, -a + b + c R3 (146) <2 + (1, -2, 1)> a - b + c, a + b - c, -a + b + c 1, -1, 0 R3 (146) <2 + (1, 1, -2)> a - b + c, a + b - c, -a + b + c 0, 1, -1 R3 (146) <2 + (2, -1, -1)> a - b + c, a + b - c, -a + b + c 1, 0, -1
• Series of maximal isomorphic subgroups

[p] a' = 1/3((p + 1)a + (p - 2)b + (p + 1)c), b' = 1/3((p + 1)a + (p + 1)b + (p - 2)c), c' = 1/3((p - 2)a + (p + 1)b + (p + 1)c)

 R3 (146) <2> a' = 1/3((p + 1)a ..., see lattice relations p prime; p = 2 or p = 6n - 1 no conjugate subgroups

[p] a' = 1/3((p + 2)a + (p - 1)b + (p - 1)c), b' = 1/3((p - 1)a + (p + 2)b + (p - 1)c), c' = 1/3((p - 1)a + (p - 1)b + (p + 2)c)

 R3 (146) <2> a' = 1/3((p + 2)a ..., see lattice relations prime p = 6n + 1 no conjugate subgroups

[p2] a' = 1/3((p + 1)a + (1 - 2p)b + (p + 1)c), b' = 1/3((p + 1)a + (p + 1)b + (1 - 2p)c), c' = 1/3((1 - 2p)a + (p + 1)b + (p + 1)c)

 R3 (146) <2 + (u + v, -2u + v, u - 2v)> a' = 1/3((p + 1)a ..., see lattice relations u, -u + v, -v p prime; 0 ≤ u < p; 0 ≤ v < p p2 conjugate subgroups for p = 2 or p = 6n - 1

[p = q2 + r2 - qr] a' = 1/3a + βb + γc), b' = 1/3a + αb + βc), c' = 1/3a + γb + αc); α = 2q - r + 1, β = 1 - q - r, γ = 2r + 1 - q

 R3 (146) <2 + (u, -2u, u)> a' = 1/3(αa + βb ..., see lattice relations u, -u, 0 prime p = 6n + 1; q > 0; r > 0; q ≠ r; q + r = 3n' + 1; 0 ≤ u < p p conjugate subgroups for each pair of q and r

I Minimal translationengleiche supergroups

 [2] R-3 (148); [2] R32 (155); [2] R3m (160); [2] R3c (161); [4] P23 (195); [4] F23 (196); [4] I23 (197); [4] P213 (198); [4] I213 (199)

II Minimal non-isomorphic klassengleiche supergroups