R3 No. 146 R3 C34

HEXAGONAL AXES

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/31/31/3); (2)

General position

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates

 (0, 0, 0)+  (2/31/31/3)+  (1/32/32/3)+  
9 b 1
(1) xyz(2) -yx - yz(3) -x + y-xz

I Maximal translationengleiche subgroups

[3] R1 (1P1)1+ab1/3(-a - 2b + c)

II Maximal klassengleiche subgroups

[3] P32 (145)1; 2 + (1/32/32/3); 3 + (2/31/31/3)0, 1/3, 0
[3] P31 (144)1; 2 + (2/31/31/3); 3 + (1/32/32/3)1/31/3, 0
[3] P3 (143)1; 2; 3

[2] a' = -b, b' = a + b, c' = 2c

R3 (146)<2>-ba + b, 2c

[4] a' = -2b, b' = 2a + 2b

braceR3 (146)<2>-2b, 2a + 2bc
R3 (146)<2 + (1, -1, 0)>-2b, 2a + 2bc1, 0, 0
R3 (146)<2 + (1, 2, 0)>-2b, 2a + 2bc0, 1, 0
R3 (146)<2 + (2, 1, 0)>-2b, 2a + 2bc1, 1, 0

[p] c' = pc


R3 (146)<2>-ba + bpc
 p prime; p = 2 or p = 6n - 1
no conjugate subgroups
R3 (146)<2>abpc
 prime p = 6n + 1
no conjugate subgroups

[p2] a' = -pb, b' = pa + pb


R3 (146)<2 + (u + v, -u + 2v, 0)>-pbpa + pbcuv, 0
 p prime; 0 ≤ u < p; 0 ≤ v < p
p2 conjugate subgroups for p = 2 or p = 6n - 1

[p = q2 + r2 - qr] a' = (q - r)a - rb, b' = ra + qb


R3 (146)<2 + (u, -u, 0)>(q - r)a - rbra + qbcu, 0, 0
 prime p = 6n + 1; q > 0; r > 0; q ≠ r; q + r = 3n' + 1; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for each pair of q and r

I Minimal translationengleiche supergroups

[2] R-3 (148); [2] R32 (155); [2] R3m (160); [2] R3c (161); [4] P23 (195); [4] F23 (196); [4] I23 (197); [4] P213 (198); [4] I213 (199)

II Minimal non-isomorphic klassengleiche supergroups

none
[3] a' = 1/3(2a + b), b' = 1/3(-a + b), c' = 1/3c  P3 (143)
R3 No. 146 R3 C34

RHOMBOHEDRAL AXES

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2)

General position

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates

 
3 b 1
(1) xyz(2) zxy(3) yzx

I Maximal translationengleiche subgroups

[3] R1 (1P1)1

II Maximal klassengleiche subgroups

none

[2] a' = a + c, b' = a + b, c' = b + c

R3 (146)<2>a + ca + bb + c

[3] a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c

P32 (145)<2 + (1, 1, 0)>a - bb - ca + b + c0, 1/3, -1/3
P31 (144)<2 + (1, 0, 0)>a - bb - ca + b + c1/3, 0, -1/3
P3 (143)<2>a - bb - ca + b + c

[4] a' = a - b + c, b' = a + b - c, c' = -a + b + c

braceR3 (146)<2>a - b + ca + b - c, -a + b + c
R3 (146)<2 + (1, -2, 1)>a - b + ca + b - c, -a + b + c1, -1, 0
R3 (146)<2 + (1, 1, -2)>a - b + ca + b - c, -a + b + c0, 1, -1
R3 (146)<2 + (2, -1, -1)>a - b + ca + b - c, -a + b + c1, 0, -1

[p] a' = 1/3((p + 1)a + (p - 2)b + (p + 1)c), b' = 1/3((p + 1)a + (p + 1)b + (p - 2)c), c' = 1/3((p - 2)a + (p + 1)b + (p + 1)c)


R3 (146)<2>a' = 1/3((p + 1)a ..., see lattice relations
 p prime; p = 2 or p = 6n - 1
no conjugate subgroups

[p] a' = 1/3((p + 2)a + (p - 1)b + (p - 1)c), b' = 1/3((p - 1)a + (p + 2)b + (p - 1)c), c' = 1/3((p - 1)a + (p - 1)b + (p + 2)c)


R3 (146)<2>a' = 1/3((p + 2)a ..., see lattice relations
 prime p = 6n + 1
no conjugate subgroups

[p2] a' = 1/3((p + 1)a + (1 - 2p)b + (p + 1)c), b' = 1/3((p + 1)a + (p + 1)b + (1 - 2p)c), c' = 1/3((1 - 2p)a + (p + 1)b + (p + 1)c)


R3 (146)<2 + (u + v, -2u + vu - 2v)>a' = 1/3((p + 1)a ..., see lattice relationsu, -u + v, -v
 p prime; 0 ≤ u < p; 0 ≤ v < p
p2 conjugate subgroups for p = 2 or p = 6n - 1

[p = q2 + r2 - qr] a' = 1/3a + βb + γc), b' = 1/3a + αb + βc), c' = 1/3a + γb + αc); α = 2q - r + 1, β = 1 - q - r, γ = 2r + 1 - q


R3 (146)<2 + (u, -2uu)>a' = 1/3a + βb ..., see lattice relationsu, -u, 0
 prime p = 6n + 1; q > 0; r > 0; q ≠ r; q + r = 3n' + 1; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for each pair of q and r

I Minimal translationengleiche supergroups

[2] R-3 (148); [2] R32 (155); [2] R3m (160); [2] R3c (161); [4] P23 (195); [4] F23 (196); [4] I23 (197); [4] P213 (198); [4] I213 (199)

II Minimal non-isomorphic klassengleiche supergroups

none
[3] a' = 1/3(2a - b - c), b' = 1/3(-a + 2b - c), c' = 1/3(a + b + c)  P3 (143)








































to end of page
to top of page