R-3 No. 148 R-3 C3i2

HEXAGONAL AXES

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/31/31/3); (2); (4)

General position

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates

 (0, 0, 0)+  (2/31/31/3)+  (1/32/32/3)+  
18 f 1
(1) xyz(2) -yx - yz(3) -x + y-xz
(4) -x-y-z(5) y-x + y-z(6) x - yx-z

I Maximal translationengleiche subgroups

[2] R3 (146)(1; 2; 3)+
[3] R-1 (2P-1)(1; 4)+ab1/3(-a - 2b + c)

II Maximal klassengleiche subgroups

brace[3] P-3 (147)1; 2; 3; 4; 5; 6
[3] P-3 (147)1; 2; 3; (4; 5; 6) + (1/32/32/3)2/31/31/3
[3] P-3 (147)1; 2; 3; (4; 5; 6) + (2/31/31/3)1/32/32/3

[2] a' = -b, b' = a + b, c' = 2c

R-3 (148)<2; 4>-ba + b, 2c
R-3 (148)<2; 4 + (0, 0, 1)>-ba + b, 2c0, 0, 1/2

[4] a' = -2b, b' = 2a + 2b

braceR-3 (148)<2; 4>-2b, 2a + 2bc
R-3 (148)<2 + (1, -1, 0); 4 + (2, 0, 0)>-2b, 2a + 2bc1, 0, 0
R-3 (148)<2 + (1, 2, 0); 4 + (0, 2, 0)>-2b, 2a + 2bc0, 1, 0
R-3 (148)<2 + (2, 1, 0); 4 + (2, 2, 0)>-2b, 2a + 2bc1, 1, 0

[p] c' = pc


R-3 (148)<2; 4 + (0, 0, 2u)>-ba + bpc0, 0, u
 prime p > 4; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for p = 6n - 1
R-3 (148)<2; 4 + (0, 0, 2u)>abpc0, 0, u
 prime p > 6; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for p = 6n + 1

[p2] a' = -pb, b' = pa + pb


R-3 (148)<2 + (u + v, -u + 2v, 0); 4 + (2u, 2v, 0)>-pbpa + pbcuv, 0
 p prime; p = 2 or p = 6n - 1; 0 ≤ u < p; 0 ≤ v < p
p2 conjugate subgroups

[p = q2 + r2 - qr] a' = (q - r)a - rb, b' = ra + qb


R-3 (148)<2 + (u, -u, 0); 4 + (2u, 0, 0)>(q - r)a - rbra + qbcu, 0, 0
 prime p = 6n + 1; q > 0; r > 0; q ≠ r; q + r = 3n' + 1; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for each pair of q and r

I Minimal translationengleiche supergroups

[2] R-3m (166); [2] R-3c (167); [4] Pm-3 (200); [4] Pn-3 (201); [4] Fm-3 (202); [4] Fd-3 (203); [4] Im-3 (204); [4] Pa-3 (205); [4] Ia-3 (206)

II Minimal non-isomorphic klassengleiche supergroups

none
[3] a' = 1/3(2a + b), b' = 1/3(-a + b), c' = 1/3c  P-3 (147)
R-3 No. 148 R-3 C3i2

RHOMBOHEDRAL AXES

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (4)

General position

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates

 
6 f 1
(1) xyz(2) zxy(3) yzx
(4) -x-y-z(5) -z-x-y(6) -y-z-x

I Maximal translationengleiche subgroups

[2] R3 (146)1; 2; 3
[3] R-1 (2P-1)1; 4

II Maximal klassengleiche subgroups

none

[2] a' = a + c, b' = a + b, c' = b + c

R-3 (148)<2; 4>a + ca + bb + c
R-3 (148)<2; 4 + (1, 1, 1)>a + ca + bb + c1/21/21/2

[3] a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c

braceP-3 (147)<2; 4>a - bb - ca + b + c
P-3 (147)<2 + (1, -1, 0); 4 + (2, 0, 0)>a - bb - ca + b + c1, 0, 0
P-3 (147)<2 + (1, 0, -1); 4 + (2, 2, 0)>a - bb - ca + b + c1, 1, 0

[4] a' = a - b + c, b' = a + b - c, c' = -a + b + c

braceR-3 (148)<2; 4>a - b + ca + b - c, -a + b + c
R-3 (148)<2 + (1, -2, 1); 4 + (2, -2, 0)>a - b + ca + b - c, -a + b + c1, -1, 0
R-3 (148)<2 + (1, 1, -2); 4 + (0, 2, -2)>a - b + ca + b - c, -a + b + c0, 1, -1
R-3 (148)<2 + (2, -1, -1); 4 + (2, 0, -2)>a - b + ca + b - c, -a + b + c1, 0, -1

[p] a' = 1/3((p + 1)a + (p - 2)b + (p + 1)c), b' = 1/3((p + 1)a + (p + 1)b + (p - 2)c), c' = 1/3((p - 2)a + (p + 1)b + (p + 1)c)


R-3 (148)<2; 4 + (2u, 2u, 2u)>a' = 1/3((p + 1)a ..., see lattice relationsuuu
 prime p > 4; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for p = 6n - 1

[p] a' = 1/3((p + 2)a + (p - 1)b + (p - 1)c), b' = 1/3((p - 1)a + (p + 2)b + (p - 1)c), c' = 1/3((p - 1)a + (p - 1)b + (p + 2)c)


R-3 (148)<2; 4 + (2u, 2u, 2u)>a' = 1/3((p + 2)a ..., see lattice relationsuuu
 prime p > 6; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for p = 6n + 1

[p2] a' = 1/3((p + 1)a + (1 - 2p)b + (p + 1)c), b' = 1/3((p + 1)a + (p + 1)b + (1 - 2p)c), c' = 1/3((1 - 2p)a + (p + 1)b + (p + 1)c)


R-3 (148)<2 + (u + v, -2u + vu - 2v); 4 + (2u, -2u + 2v, -2v)>a' = 1/3((p + 1)a ..., see lattice relationsu, -u + v, -v
 p prime; p = 2 or p = 6n - 1; 0 ≤ u < p; 0 ≤ v < p
p2 conjugate subgroups

[p = q2 + r2 - qr] a' = 1/3a + βb + γc), b' = 1/3a + αb + βc), c' = 1/3a + γb + αc); α = 2q - r + 1, β = 1 - q - r, γ = 2r + 1 - q


R-3 (148)<2 + (u, -2uu); 4 + (2u, -2u, 0)>a' = 1/3a + βb + ..., see lattice relationsu, -u, 0
 prime p = 6n + 1; q > 0; r > 0; q ≠ r; q + r = 3n' + 1; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for each pair of q and r

I Minimal translationengleiche supergroups

[2] R-3m (166); [2] R-3c (167); [4] Pm-3 (200); [4] Pn-3 (201); [4] Fm-3 (202); [4] Fd-3 (203); [4] Im-3 (204); [4] Pa-3 (205); [4] Ia-3 (206)

II Minimal non-isomorphic klassengleiche supergroups

none
[3] a' = 1/3(2a - b - c), b' = 1/3(-a + 2b - c), c' = 1/3(a + b + c)  P-3 (147)








































to end of page
to top of page