R32 No. 155 R32 D37

HEXAGONAL AXES

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/31/31/3); (2); (4)

General position

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates

 (0, 0, 0)+  (2/31/31/3)+  (1/32/32/3)+  
18 f 1
(1) xyz(2) -yx - yz(3) -x + y-xz
(4) yx-z(5) x - y-y-z(6) -x-x + y-z

I Maximal translationengleiche subgroups

[2] R31 (146R3)(1; 2; 3)+
brace[3] R12 (5C121)(1; 4)+1/3(-a + b - 2c), -a - bc
[3] R12 (5C121)(1; 5)+1/3(-a - 2b - 2c), ac
[3] R12 (5C121)(1; 6)+1/3(2a + b - 2c), bc

II Maximal klassengleiche subgroups

brace[3] P3221 (154)1; 4; (2; 6) + (1/32/32/3); (3; 5) + (2/31/31/3)2/32/3, 0
[3] P3221 (154)1; 5; (2; 4) + (1/32/32/3); (3; 6) + (2/31/31/3)1/3, 0, 1/3
[3] P3221 (154)1; 6; (2; 5) + (1/32/32/3); (3; 4) + (2/31/31/3)0, 1/32/3
brace[3] P3121 (152)1; 4; (2; 6) + (2/31/31/3); (3; 5) + (1/32/32/3)1/31/3, 0
[3] P3121 (152)1; 5; (2; 4) + (2/31/31/3); (3; 6) + (1/32/32/3)2/3, 0, 2/3
[3] P3121 (152)1; 6; (2; 5) + (2/31/31/3); (3; 4) + (1/32/32/3)0, 2/31/3
brace[3] P321 (150)1; 2; 3; 4; 5; 6
[3] P321 (150)1; 2; 3; (4; 5; 6) + (1/32/32/3)2/31/31/3
[3] P321 (150)1; 2; 3; (4; 5; 6) + (2/31/31/3)1/32/32/3

[2] a' = -b, b' = a + b, c' = 2c

R32 (155)<2; 4>-ba + b, 2c
R32 (155)<2; 4 + (0, 0, 1)>-ba + b, 2c0, 0, 1/2

[4] a' = -2b, b' = 2a + 2b

braceR32 (155)<2; 4>-2b, 2a + 2bc
R32 (155)<(2; 4) + (1, -1, 0)>-2b, 2a + 2bc1, 0, 0
R32 (155)<2 + (1, 2, 0); 4 + (-1, 1, 0)>-2b, 2a + 2bc0, 1, 0
R32 (155)<4; 2 + (2, 1, 0)>-2b, 2a + 2bc1, 1, 0

[p] c' = pc


R32 (155)<2; 4 + (0, 0, 2u)>-ba + bpc0, 0, u
 prime p > 4; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for p = 6n - 1
R32 (155)<2; 4 + (0, 0, 2u)>abpc0, 0, u
 prime p > 6; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for p = 6n + 1

[p2] a' = pa, b' = pb


R32 (155)<2 + (u + v, -u + 2v, 0); 4 + (u - v, -u + v, 0)>-pbpa + pbcuv, 0
 p prime; 0 ≤ u < p; 0 ≤ v < p
p2 conjugate subgroups for p = 2 or p = 6n - 1
R32 (155)<2 + (u + v, -u + 2v, 0); 4 + (u - v, -u + v, 0)>papbcuv, 0
 prime p > 6; 0 ≤ u < p; 0 ≤ v < p
p2 conjugate subgroups for p = 6n + 1

I Minimal translationengleiche supergroups

[2] R-3m (166); [2] R-3c (167); [4] P432 (207); [4] P4232 (208); [4] F432 (209); [4] F4132 (210); [4] I432 (211); [4] P4332 (212); [4] P4132 (213); [4] I4132 (214)

II Minimal non-isomorphic klassengleiche supergroups

none
[3] a' = 1/3(2a + b), b' = 1/3(-a + b), c' = 1/3c  P312 (149)
R32 No. 155 R32 D37

RHOMBOHEDRAL AXES

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (4)

General position

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates

 
6 f 1
(1) xyz(2) zxy(3) yzx
(4) -z-y-x (5) -y-x-z (6) -x-z-y

I Maximal translationengleiche subgroups

[2] R31 (146R3)1; 2; 3
brace[3] R12 (5C121)1; 4-a - c, -a + ca + b + c
[3] R12 (5C121)1; 5-a - ba - ba + b + c
[3] R12 (5C121)1; 6-b - cb - ca + b + c

II Maximal klassengleiche subgroups

none

[2] a' = a + c, b' = a + b, c' = b + c

R32 (155)<2; 4>a + ca + bb + c
R32 (155)<2; 4 + (1, 1, 1)>a + ca + bb + c1/21/21/2

[3] a' = a - b, b' = b - c, c' = a + b + c

braceP3221 (154)<4; 2 + (2, 0, 0)>a - bb - ca + b + c2/3, 0, -2/3
P3221 (154)<(2; 4) + (1, 0, 1)>a - bb - ca + b + c2/3, 0, 1/3
P3221 (154)<2 + (1, 1, 0); 4 + (1, 2, 1)>a - bb - ca + b + c2/3, 1, 1/3
braceP3121 (152)<4; 2 + (1, 0, 0)>a - bb - ca + b + c1/3, 0, -1/3
P3121 (152)<2 + (1, -1, 1); 4 + (2, 0, 2)>a - bb - ca + b + c4/3, 0, 2/3
P3121 (152)<2 + (1, 1, -1); 4 + (0, 2, 0)>a - bb - ca + b + c1/3, 1, -1/3
braceP321 (150)<2; 4>a - bb - ca + b + c
P321 (150)<2 + (1, -1, 0); 4 + (1, 0, 1)>a - bb - ca + b + c1, 0, 0
P321 (150)<2 + (1, 0, -1); 4 + (1, 2, 1)>a - bb - ca + b + c1, 1, 0

[4] a' = a - b + c, b' = a + b - c, c' = -a + b + c

braceR32 (155)<2; 4>a - b + ca + b - c, -a + b + c
R32 (155)<(2; 4) + (1, -2, 1)>a - b + ca + b - c, -a + b + c1, -1, 0
R32 (155)<2 + (1, 1, -2); 4 + (-1, 2, -1)>a - b + ca + b - c, -a + b + c0, 1, -1
R32 (155)<4; 2 + (2, -1, -1)>a - b + ca + b - c, -a + b + c1, 0, -1

[p] a' = 1/3((p + 1)a + (p - 2)b + (p + 1)c), b' = 1/3((p + 1)a + (p + 1)b + (p - 2)c), c' = 1/3((p - 2)a + (p + 1)b + (p + 1)c)


R32 (155)<2; 4 + (2u, 2u, 2u)>a' = 1/3((p + 1)a ..., see lattice relationsuuu
 prime p > 4; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for p = 6n - 1

[p] a' = 1/3((p + 2)a + (p - 1)b + (p - 1)c), b' = 1/3((p - 1)a + (p + 2)b + (p - 1)c), c' = 1/3((p - 1)a + (p - 1)b + (p + 2)c)


R32 (155)<2; 4 + (2u, 2u, 2u)>a' = 1/3((p + 2)a ..., see lattice relationsuuu
 prime p > 6; 0 ≤ u < p
p conjugate subgroups for p = 6n + 1

[p2] a' = 1/3((p + 1)a + (1 - 2p)b + (p + 1)c), b' = 1/3((p + 1)a + (p + 1)b + (1 - 2p)c), c' = 1/3((1 - 2p)a + (p + 1)b + (p + 1)c)


R32 (155)<2 + (u + v, -2u + vu - 2v); 4 + (u - v, -2u + 2vu - v)>a' = 1/3((p + 1)a ..., see lattice relationsu, -u + v, -v
 p prime; 0 ≤ u < p; 0 ≤ v < p
p2 conjugate subgroups for p = 2 or p = 6n - 1

[p2] a' = 1/3((2p + 1)a + (1 - p)b + (1 - p)c), b' = 1/3((1 - p)a + (2p + 1)b + (1 - p)c), c' = 1/3((1 - p)a + (1 - p)b + (2p + 1)c)


R32 (155)<2 + (u + v, -2u + vu - 2v); 4 + (u - v, -2u + 2vu - v)>a' = 1/3((2p + 1)a ..., see lattice relationsu, -u + v, -v
 prime p > 6; 0 ≤ u < p; 0 ≤ v < p
p2 conjugate subgroups for p = 6n + 1

I Minimal translationengleiche supergroups

[2] R-3m (166); [2] R-3c (167); [4] P432 (207); [4] P4232 (208); [4] F432 (209); [4] F4132 (210); [4] I432 (211); [4] P4332 (212); [4] P4132 (213); [4] I4132 (214)

II Minimal non-isomorphic klassengleiche supergroups

none
[3] a' = 1/3(2a - b - c), b' = 1/3(-a + 2b - c), c' = 1/3(a + b + c)  P312 (149)








































to end of page
to top of page