R-3m D3d5 -3m Trigonal info
No. 166 R-32/m Patterson symmetry R-3m
HEXAGONAL AXES

symmetry group diagram

Origin at centre (-3 m)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 2/3; 0 ≤ y ≤ 2/3; 0 ≤ z ≤ 1/6; x ≤ 2y; y ≤ min(1 - x, 2x)
Vertices
0, 0, 0  2/31/3, 0  1/32/3, 0  
0, 0, 1/6  2/31/31/6  1/32/31/6  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  3+   0, 0, z(3)  3-   0, 0, z
(4)  2   xx, 0(5)  2   x, 0, 0(6)  2   0, y, 0
(7)  -1   0, 0, 0(8)  -3+   0, 0, z; 0, 0, 0(9)  -3-   0, 0, z; 0, 0, 0
(10)  m   x-xz(11)  m   x, 2xz(12)  m   2xxz

For (2/31/31/3)+ set

(1)  t(2/31/31/3)   (2)  3+(0, 0, 1/3)   1/31/3z(3)  3-(0, 0, 1/3)   1/3, 0, z
(4)  2(1/21/2, 0)   xx - 1/61/6(5)  2(1/2, 0, 0)   x1/61/6(6)  2   1/3y1/6
(7)  -1   1/31/61/6(8)  -3+   1/3, -1/3z; 1/3, -1/31/6(9)  -3-   1/32/3z; 1/32/31/6
(10)  g(1/6, -1/61/3)   x + 1/2-xz(11)  g(1/61/31/3)   x + 1/4, 2xz(12)  g(2/31/31/3)   2xxz

For (1/32/32/3)+ set

(1)  t(1/32/32/3)   (2)  3+(0, 0, 2/3)   0, 1/3z(3)  3-(0, 0, 2/3)   1/31/3z
(4)  2(1/21/2, 0)   xx + 1/61/3(5)  2   x1/31/3(6)  2(0, 1/2, 0)   1/6y1/3
(7)  -1   1/61/31/3(8)  -3+   2/31/3z; 2/31/31/3(9)  -3-   -1/31/3z; -1/31/31/3
(10)  g(-1/61/62/3)   x + 1/2-xz(11)  g(1/32/32/3)   x, 2xz(12)  g(1/31/62/3)   2x - 1/2xz

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/31/31/3); (2); (4); (7)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (2/31/31/3)+  (1/32/32/3)+  General:
36 i 1
(1) xyz(2) -yx - yz(3) -x + y-xz
(4) yx-z(5) x - y-y-z(6) -x-x + y-z
(7) -x-y-z(8) y-x + y-z(9) x - yx-z
(10) -y-xz(11) -x + yyz(12) xx - yz
hkil:  -h + k + l = 3n
hki0:  -h + k = 3n
hh(-2h)l: l = 3n
h-h0l: h + l = 3n
000l: l = 3n
h-h00: h = 3n
    Special: as above, plus
18 h  . m 
x-xzx, 2xz (-2x), -xz -xx-z 2xx-z -x, (-2x), -z
no extra conditions
18 g  . 2 
x, 0, 1/2 0, x1/2 -x-x1/2 -x, 0, 1/2 0, -x1/2xx1/2
no extra conditions
18 f  . 2 
x, 0, 0 0, x, 0 -x-x, 0 -x, 0, 0 0, -x, 0xx, 0
no extra conditions
9 e  . 2/m 
1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 1/21/2, 0
no extra conditions
9 d  . 2/m 
1/2, 0, 1/2 0, 1/21/2 1/21/21/2
no extra conditions
6 c  3 m 
0, 0, z 0, 0, -z
no extra conditions
3 b  -3 m 
0, 0, 1/2
no extra conditions
3 a  -3 m 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [001]   p6mm
a' = 1/3(2a + b)   b' = 1/3(-a + b)   
Origin at 0, 0, z
Along [100]   p2
a' = 1/2(a + 2b)   b' = 1/3(-a - 2b + c)   
Origin at x, 0, 0
Along [210]   p2mm
a' = 1/2b   b' = 1/3c   
Origin at x1/2x, 0





R-3m D3d5 -3m Trigonal info
No. 166 R-32/m Patterson symmetry R-3m
RHOMBOHEDRAL AXES

symmetry group diagram

Origin at centre (-3 m)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 1/2; yx; z ≤ min (y, 1 - x)
Vertices
0, 0, 0  1, 0, 0  1, 1, 0  1/21/21/2  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  3+   xxx(3)  3-   xxx
(4)  2   -x, 0, x(5)  2   x-x, 0(6)  2   0, y-y
(7)  -1   0, 0, 0(8)  -3+   xxx; 0, 0, 0(9)  -3-   xxx; 0, 0, 0
(10)  m   xyx(11)  m   xxz(12)  m   xyy

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (4); (7)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates Reflection conditions
 General:
12 i 1
(1) xyz(2) zxy(3) yzx
(4) -z-y-x(5) -y-x-z(6) -x-z-y
(7) -x-y-z(8) -z-x-y(9) -y-z-x
(10) zyx(11) yxz(12) xzy
no conditions
    Special: as above, plus
6 h  . m 
xyxxxyyxx -x-y-x -y-x-x -x-x-y
no extra conditions
6 g  . 2 
x-x1/2 1/2x-x -x1/2x -xx1/2 1/2-xxx1/2-x
no extra conditions
6 f  . 2 
x-x, 0 0, x-x -x, 0, x -xx, 0 0, -xxx, 0, -x
no extra conditions
3 e  . 2/m 
1/21/2, 0 0, 1/21/2 1/2, 0, 1/2
no extra conditions
3 d  . 2/m 
0, 0, 1/2 1/2, 0, 0 0, 1/2, 0
no extra conditions
2 c  3 m 
xxx -x-x-x
no extra conditions
1 b  -3 m 
1/21/21/2
no extra conditions
1 a  -3 m 
0, 0, 0
no extra conditions

Symmetry of special projections

Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at xxx
Along [1-10]   p2
a' = 1/2(a + b - 2c)   b' = c   
Origin at x-x, 0
Along [2-1-1]   p2mm
a' = 1/2(b - c)   b' = 1/3(a + b + c)   
Origin at 2x-x-x








































to end of page
to top of page