R-3c D3d6 -3m Trigonal info
No. 167 R-32/c Patterson symmetry R-3m
HEXAGONAL AXES

symmetry group diagram

Origin at centre (-3) at -3 c

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 2/3; 0 ≤ y ≤ 2/3; 0 ≤ z ≤ 1/12; x ≤ (1 + y)/2; y ≤ min(1 - x, (1 + x)/2)
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  2/31/3, 0  1/32/3, 0  0, 1/2, 0  
0, 0, 1/12  1/2, 0, 1/12  2/31/31/12  1/32/31/12  0, 1/21/12  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  3+   0, 0, z(3)  3-   0, 0, z
(4)  2   xx1/4(5)  2   x, 0, 1/4(6)  2   0, y1/4
(7)  -1   0, 0, 0(8)  -3+   0, 0, z; 0, 0, 0(9)  -3-   0, 0, z; 0, 0, 0
(10)  c   x-xz(11)  c   x, 2xz(12)  c   2xxz

For (2/31/31/3)+ set

(1)  t(2/31/31/3)   (2)  3+(0, 0, 1/3)   1/31/3z(3)  3-(0, 0, 1/3)   1/3, 0, z
(4)  2(1/21/2, 0)   xx - 1/65/12(5)  2(1/2, 0, 0)   x1/65/12(6)  2   1/3y5/12
(7)  -1   1/31/61/6(8)  -3+   1/3, -1/3z; 1/3, -1/31/6(9)  -3-   1/32/3z; 1/32/31/6
(10)  g(1/6, -1/65/6)   x + 1/2-xz(11)  g(1/61/35/6)   x + 1/4, 2xz(12)  g(2/31/35/6)   2xxz

For (1/32/32/3)+ set

(1)  t(1/32/32/3)   (2)  3+(0, 0, 2/3)   0, 1/3z(3)  3-(0, 0, 2/3)   1/31/3z
(4)  2(1/21/2, 0)   xx + 1/61/12(5)  2   x1/31/12(6)  2(0, 1/2, 0)   1/6y1/12
(7)  -1   1/61/31/3(8)  -3+   2/31/3z; 2/31/31/3(9)  -3-   -1/31/3z; -1/31/31/3
(10)  g(-1/61/61/6)   x + 1/2-xz(11)  g(1/32/31/6)   x, 2xz(12)  g(1/31/61/6)   2x - 1/2xz

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(2/31/31/3); (2); (4); (7)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (2/31/31/3)+  (1/32/32/3)+  General:
36 f 1
(1) xyz(2) -yx - yz(3) -x + y-xz
(4) yx-z + 1/2(5) x - y-y-z + 1/2(6) -x-x + y-z + 1/2
(7) -x-y-z(8) y-x + y-z(9) x - yx-z
(10) -y-xz + 1/2(11) -x + yyz + 1/2(12) xx - yz + 1/2
hkil:  -h + k + l = 3n
hki0:  -h + k = 3n
hh(-2h)l: l = 3n
h-h0l: h + l = 3nl = 2n
000l: l = 6n
h-h00: h = 3n
    Special: as above, plus
18 e  . 2 
x, 0, 1/4 0, x1/4 -x-x1/4 -x, 0, 3/4 0, -x3/4xx3/4
no extra conditions
18 d  -1 
1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 1/21/2, 0 0, 1/21/2 1/2, 0, 1/2 1/21/21/2
hkil: l  =  2n
12 c  3 . 
0, 0, z 0, 0, -z + 1/2 0, 0, -z 0, 0, z + 1/2
hkil: l  =  2n
6 b  -3 . 
0, 0, 0 0, 0, 1/2
hkil: l  =  2n
6 a  3 2 
0, 0, 1/4 0, 0, 3/4
hkil: l  =  2n

Symmetry of special projections

Along [001]   p6mm
a' = 1/3(2a + b)   b' = 1/3(-a + b)   
Origin at 0, 0, z
Along [100]   p2
a' = 1/6(2a + 4b + c)   b' = 1/6(-a - 2b + c)   
Origin at x, 0, 0
Along [210]   p2gm
a' = 1/2b   b' = 1/3c   
Origin at x1/2x, 0





R-3c D3d6 -3m Trigonal info
No. 167 R-32/c Patterson symmetry R-3m
RHOMBOHEDRAL AXES

symmetry group diagram

Origin at centre (-3) at -3c

Asymmetric unit 1/4 ≤ x ≤ 5/4; 1/4 ≤ y ≤ 5/4; 1/4 ≤ z ≤ 3/4; yx; z ≤ min (y3/2 - x)
Vertices
1/41/41/4  5/41/41/4  5/45/41/4  3/43/43/4  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  3+   xxx(3)  3-   xxx
(4)  2   -x + 1/21/4x(5)  2   x-x + 1/21/4(6)  2   1/4y + 1/2-y
(7)  -1   0, 0, 0(8)  -3+   xxx; 0, 0, 0(9)  -3-   xxx; 0, 0, 0
(10)  n(1/21/21/2)   xyx(11)  n(1/21/21/2)   xxz(12)  n(1/21/21/2)   xyy

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (4); (7)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates Reflection conditions
 General:
12 f 1
(1) xyz(2) zxy(3) yzx
(4) -z + 1/2-y + 1/2-x + 1/2(5) -y + 1/2-x + 1/2-z + 1/2(6) -x + 1/2-z + 1/2-y + 1/2
(7) -x-y-z(8) -z-x-y(9) -y-z-x
(10) z + 1/2y + 1/2x + 1/2(11) y + 1/2x + 1/2z + 1/2(12) x + 1/2z + 1/2y + 1/2
hhl: l = 2n
hhh: h = 2n
    Special: as above, plus
6 e  . 2 
x-x + 1/21/4 1/4x-x + 1/2 -x + 1/21/4x
-xx + 1/23/4 3/4-xx + 1/2x + 1/23/4-x
no extra conditions
6 d  -1 
1/21/2, 0 0, 1/21/2 1/2, 0, 1/2 1/2, 0, 0 0, 0, 1/2 0, 1/2, 0
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
4 c  3 . 
xxx -x + 1/2-x + 1/2-x + 1/2 -x-x-xx + 1/2x + 1/2x + 1/2
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
2 b  -3 . 
0, 0, 0 1/21/21/2
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
2 a  3 2 
1/41/41/4 3/43/43/4
hkl: h  +  k  +  l  =  2n

Symmetry of special projections

Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at xxx
Along [1-10]   p2
a' = 1/2(a + b - 2c)   b' = 1/2c   
Origin at x-x, 0
Along [2-1-1]   p2gm
a' = 1/2(b - c)   b' = 1/3(a + b + c)   
Origin at 2x-x-x








































to end of page
to top of page