Pn-3m Oh4 m-3m Cubic info
No. 224 P42/n-32/m Patterson symmetry Pm-3m
ORIGIN CHOICE 1

symmetry group diagram

Origin at -4 3 m, at -1/4, -1/4, -1/4 from centre (-3 m)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1/2; 0 ≤ y ≤ 1/2; -1/4 ≤ z ≤ 1/4; yx; max(x - 1/2, -y) ≤ z ≤ min(1/2 - xy)
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  1/21/2, 0  1/41/41/4  1/41/4, -1/4  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  2   0, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+   xxx(6)  3+   -xx-x(7)  3+   x-x-x(8)  3+   -x-xx
(9)  3-   xxx(10)  3-   x-x-x(11)  3-   -x-xx(12)  3-   -xx-x
(13)  2(1/21/2, 0)   xx1/4(14)  2   x-x + 1/21/4(15)  4-(0, 0, 1/2)   1/2, 0, z(16)  4+(0, 0, 1/2)   0, 1/2z
(17)  4-(1/2, 0, 0)   x1/2, 0(18)  2(0, 1/21/2)   1/4yy(19)  2   1/4y + 1/2-y(20)  4+(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/2
(21)  4+(0, 1/2, 0)   1/2y, 0(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x1/4x(23)  4-(0, 1/2, 0)   0, y1/2(24)  2   -x + 1/21/4x
(25)  -1   1/41/41/4(26)  n(1/21/2, 0)   xy1/4(27)  n(1/2, 0, 1/2)   x1/4z(28)  n(0, 1/21/2)   1/4yz
(29)  -3+   xxx; 1/41/41/4(30)  -3+   -x - 1, x + 1, -x; -1/41/43/4(31)  -3+   x-x + 1, -x; 1/43/4, -1/4(32)  -3+   -x + 1, -xx; 3/4, -1/41/4
(33)  -3-   xxx; 1/41/41/4(34)  -3-   x + 1, -x - 1, -x; 1/4, -1/43/4(35)  -3-   -x-x + 1, x; -1/43/41/4(36)  -3-   -x + 1, x-x; 3/41/4, -1/4
(37)  m   x-xz(38)  m   xxz(39)  -4-   0, 0, z; 0, 0, 0(40)  -4+   0, 0, z; 0, 0, 0
(41)  -4-   x, 0, 0; 0, 0, 0(42)  m   xy-y(43)  m   xyy(44)  -4+   x, 0, 0; 0, 0, 0
(45)  -4+   0, y, 0; 0, 0, 0(46)  m   -xyx(47)  -4-   0, y, 0; 0, 0, 0(48)  m   xyx

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates Reflection conditions
 h, k, l permutable
General:
48 l 1
(1) xyz(2) -x-yz(3) -xy-z(4) x-y-z
(5) zxy(6) z-x-y(7) -z-xy(8) -zx-y
(9) yzx(10) -yz-x(11) y-z-x(12) -y-zx
(13) y + 1/2x + 1/2-z + 1/2(14) -y + 1/2-x + 1/2-z + 1/2(15) y + 1/2-x + 1/2z + 1/2(16) -y + 1/2x + 1/2z + 1/2
(17) x + 1/2z + 1/2-y + 1/2(18) -x + 1/2z + 1/2y + 1/2(19) -x + 1/2-z + 1/2-y + 1/2(20) x + 1/2-z + 1/2y + 1/2
(21) z + 1/2y + 1/2-x + 1/2(22) z + 1/2-y + 1/2x + 1/2(23) -z + 1/2y + 1/2x + 1/2(24) -z + 1/2-y + 1/2-x + 1/2
(25) -x + 1/2-y + 1/2-z + 1/2(26) x + 1/2y + 1/2-z + 1/2(27) x + 1/2-y + 1/2z + 1/2(28) -x + 1/2y + 1/2z + 1/2
(29) -z + 1/2-x + 1/2-y + 1/2(30) -z + 1/2x + 1/2y + 1/2(31) z + 1/2x + 1/2-y + 1/2(32) z + 1/2-x + 1/2y + 1/2
(33) -y + 1/2-z + 1/2-x + 1/2(34) y + 1/2-z + 1/2x + 1/2(35) -y + 1/2z + 1/2x + 1/2(36) y + 1/2z + 1/2-x + 1/2
(37) -y-xz(38) yxz(39) -yx-z(40) y-x-z
(41) -x-zy(42) x-z-y(43) xzy(44) -xz-y
(45) -z-yx(46) -zy-x(47) z-y-x(48) zyx
0kl: k + l = 2n
h00: h = 2n
    Special: as above, plus
24 k  . . m 
xxz -x-xz -xx-zx-x-z
zxxz-x-x -z-xx -zx-x
xzx -xz-xx-z-x -x-zx
x + 1/2x + 1/2-z + 1/2 -x + 1/2-x + 1/2-z + 1/2x + 1/2-x + 1/2z + 1/2 -x + 1/2x + 1/2z + 1/2
x + 1/2z + 1/2-x + 1/2 -x + 1/2z + 1/2x + 1/2 -x + 1/2-z + 1/2-x + 1/2x + 1/2-z + 1/2x + 1/2
z + 1/2x + 1/2-x + 1/2z + 1/2-x + 1/2x + 1/2 -z + 1/2x + 1/2x + 1/2 -z + 1/2-x + 1/2-x + 1/2
no extra conditions
24 j  . . 2 
1/4yy + 1/2 3/4-yy + 1/2 3/4y-y + 1/2 1/4-y-y + 1/2y + 1/21/4yy + 1/23/4-y
-y + 1/23/4y -y + 1/21/4-yyy + 1/21/4 -yy + 1/23/4y-y + 1/23/4 -y-y + 1/21/4
1/4-y + 1/2-y 3/4y + 1/2-y 3/4-y + 1/2y 1/4y + 1/2y -y1/4-y + 1/2 -y3/4y + 1/2
y3/4-y + 1/2y1/4y + 1/2 -y + 1/2-y1/4y + 1/2-y3/4 -y + 1/2y3/4y + 1/2y1/4
no extra conditions
24 i  . . 2 
1/4y-y + 1/2 3/4-y-y + 1/2 3/4yy + 1/2 1/4-yy + 1/2 -y + 1/21/4y -y + 1/23/4-y
y + 1/23/4yy + 1/21/4-yy-y + 1/21/4 -y-y + 1/23/4yy + 1/23/4 -yy + 1/21/4
1/4-y + 1/2y 3/4y + 1/2y 3/4-y + 1/2-y 1/4y + 1/2-yy1/4-y + 1/2y3/4y + 1/2
-y3/4-y + 1/2 -y1/4y + 1/2 -y + 1/2y1/4y + 1/2y3/4 -y + 1/2-y3/4y + 1/2-y1/4
no extra conditions
24 h  2 . . 
x, 0, 1/2 -x, 0, 1/2 1/2x, 0 1/2-x, 0 0, 1/2x 0, 1/2-x
1/2x + 1/2, 0 1/2-x + 1/2, 0x + 1/2, 0, 1/2 -x + 1/2, 0, 1/2 0, 1/2-x + 1/2 0, 1/2x + 1/2
-x + 1/21/2, 0x + 1/21/2, 0 0, -x + 1/21/2 0, x + 1/21/2 1/2, 0, -x + 1/2 1/2, 0, x + 1/2
0, -x1/2 0, x1/2 -x1/2, 0x1/2, 0 1/2, 0, x 1/2, 0, -x
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
12 g  2 . m m 
x, 0, 0 -x, 0, 0 0, x, 0 0, -x, 0 0, 0, x 0, 0, -x
1/2x + 1/21/2 1/2-x + 1/21/2x + 1/21/21/2 -x + 1/21/21/2 1/21/2-x + 1/2 1/21/2x + 1/2
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
12 f  2 . 2 2 
1/4, 0, 1/2 3/4, 0, 1/2 1/21/4, 0 1/23/4, 0 0, 1/21/4 0, 1/23/4
1/41/2, 0 3/41/2, 0 0, 1/41/2 0, 3/41/2 1/2, 0, 1/4 1/2, 0, 3/4
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
8 e  . 3 m 
xxx -x-xx -xx-xx-x-x
x + 1/2x + 1/2-x + 1/2 -x + 1/2-x + 1/2-x + 1/2x + 1/2-x + 1/2x + 1/2 -x + 1/2x + 1/2x + 1/2
no extra conditions
6 d  -4 2 . m 
0, 1/21/2 1/2, 0, 1/2 1/21/2, 0 0, 1/2, 0 1/2, 0, 0 0, 0, 1/2
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
4 c  . -3 m 
3/43/43/4 1/41/43/4 1/43/41/4 3/41/41/4
hkl: h  +  kh  +  lk  +  l  =  2n
4 b  . -3 m 
1/41/41/4 3/43/41/4 3/41/43/4 1/43/43/4
hkl: h  +  kh  +  lk  +  l  =  2n
2 a  -4 3 m 
0, 0, 0 1/21/21/2
hkl: h  +  k  +  l  =  2n

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/2(a - b)   b' = 1/2(a + b)   
Origin at 0, 0, z
Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at xxx
Along [110]   p2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at xx1/4





Pn-3m Oh4 m-3m Cubic info
No. 224 P42/n-32/m Patterson symmetry Pm-3m
ORIGIN CHOICE 2

symmetry group diagram

Origin at centre (-3 m), at 1/41/41/4 from -4 3 m

Asymmetric unit 1/4 ≤ x ≤ 3/4; 1/4 ≤ y ≤ 3/4; 0 ≤ z ≤ 1/2; yx; max(x - 1/21/2 - y) ≤ z ≤ min(y, 1 - x)
Vertices
1/41/41/4  3/41/41/4  3/43/41/4  1/21/21/2  1/21/2, 0  

Symmetry operations

(1)  1   (2)  2   1/41/4z(3)  2   1/4y1/4(4)  2   x1/41/4
(5)  3+   xxx(6)  3+   -xx + 1/2-x(7)  3+   x + 1/2-x-x(8)  3+   -x + 1/2-x + 1/2x
(9)  3-   xxx(10)  3-   x + 1/2-x-x(11)  3-   -x + 1/2-x + 1/2x(12)  3-   -xx + 1/2-x
(13)  2(1/21/2, 0)   xx, 0(14)  2   x-x, 0(15)  4-(0, 0, 1/2)   1/4, -1/4z(16)  4+(0, 0, 1/2)   -1/41/4z
(17)  4-(1/2, 0, 0)   x1/4, -1/4(18)  2(0, 1/21/2)   0, yy(19)  2   0, y-y(20)  4+(1/2, 0, 0)   x, -1/41/4
(21)  4+(0, 1/2, 0)   1/4y, -1/4(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x, 0, x(23)  4-(0, 1/2, 0)   -1/4y1/4(24)  2   -x, 0, x
(25)  -1   0, 0, 0(26)  n(1/21/2, 0)   xy, 0(27)  n(1/2, 0, 1/2)   x, 0, z(28)  n(0, 1/21/2)   0, yz
(29)  -3+   xxx; 0, 0, 0(30)  -3+   -x - 1, x + 1/2-x; -1/2, 0, 1/2(31)  -3+   x - 1/2-x + 1, -x; 0, 1/2, -1/2(32)  -3+   -x + 1/2-x - 1/2x; 1/2, -1/2, 0
(33)  -3-   xxx; 0, 0, 0(34)  -3-   x + 1/2-x - 1, -x; 0, -1/21/2(35)  -3-   -x - 1/2-x + 1/2x; -1/21/2, 0(36)  -3-   -x + 1, x - 1/2-x; 1/2, 0, -1/2
(37)  m   x + 1/2-xz(38)  m   xxz(39)  -4-   1/41/4z; 1/41/41/4(40)  -4+   1/41/4z; 1/41/41/4
(41)  -4-   x1/41/4; 1/41/41/4(42)  m   xy + 1/2-y(43)  m   xyy(44)  -4+   x1/41/4; 1/41/41/4
(45)  -4+   1/4y1/4; 1/41/41/4(46)  m   -x + 1/2yx(47)  -4-   1/4y1/4; 1/41/41/4(48)  m   xyx

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates Reflection conditions
 h, k, l permutable
General:
48 l 1
(1) xyz(2) -x + 1/2-y + 1/2z(3) -x + 1/2y-z + 1/2(4) x-y + 1/2-z + 1/2
(5) zxy(6) z-x + 1/2-y + 1/2(7) -z + 1/2-x + 1/2y(8) -z + 1/2x-y + 1/2
(9) yzx(10) -y + 1/2z-x + 1/2(11) y-z + 1/2-x + 1/2(12) -y + 1/2-z + 1/2x
(13) y + 1/2x + 1/2-z(14) -y-x-z(15) y + 1/2-xz + 1/2(16) -yx + 1/2z + 1/2
(17) x + 1/2z + 1/2-y(18) -xz + 1/2y + 1/2(19) -x-z-y(20) x + 1/2-zy + 1/2
(21) z + 1/2y + 1/2-x(22) z + 1/2-yx + 1/2(23) -zy + 1/2x + 1/2(24) -z-y-x
(25) -x-y-z(26) x + 1/2y + 1/2-z(27) x + 1/2-yz + 1/2(28) -xy + 1/2z + 1/2
(29) -z-x-y(30) -zx + 1/2y + 1/2(31) z + 1/2x + 1/2-y(32) z + 1/2-xy + 1/2
(33) -y-z-x(34) y + 1/2-zx + 1/2(35) -yz + 1/2x + 1/2(36) y + 1/2z + 1/2-x
(37) -y + 1/2-x + 1/2z(38) yxz(39) -y + 1/2x-z + 1/2(40) y-x + 1/2-z + 1/2
(41) -x + 1/2-z + 1/2y(42) x-z + 1/2-y + 1/2(43) xzy(44) -x + 1/2z-y + 1/2
(45) -z + 1/2-y + 1/2x(46) -z + 1/2y-x + 1/2(47) z-y + 1/2-x + 1/2(48) zyx
0kl: k + l = 2n
h00: h = 2n
    Special: as above, plus
24 k  . . m 
xxz -x + 1/2-x + 1/2z -x + 1/2x-z + 1/2x-x + 1/2-z + 1/2
zxxz-x + 1/2-x + 1/2 -z + 1/2-x + 1/2x -z + 1/2x-x + 1/2
xzx -x + 1/2z-x + 1/2x-z + 1/2-x + 1/2 -x + 1/2-z + 1/2x
x + 1/2x + 1/2-z -x-x-zx + 1/2-xz + 1/2 -xx + 1/2z + 1/2
x + 1/2z + 1/2-x -xz + 1/2x + 1/2 -x-z-xx + 1/2-zx + 1/2
z + 1/2x + 1/2-xz + 1/2-xx + 1/2 -zx + 1/2x + 1/2 -z-x-x
no extra conditions
24 j  . . 2 
1/2y-y 0, -y + 1/2-y 0, yy + 1/2 1/2-y + 1/2y + 1/2
-y1/2y -y, 0, -y + 1/2y + 1/2, 0, yy + 1/21/2-y + 1/2
y-y1/2 -y + 1/2-y, 0yy + 1/2, 0 -y + 1/2y + 1/21/2
1/2-yy 0, y + 1/2y 0, -y-y + 1/2 1/2y + 1/2-y + 1/2
y1/2-yy, 0, y + 1/2 -y + 1/2, 0, -y -y + 1/21/2y + 1/2
-yy1/2y + 1/2y, 0 -y-y + 1/2, 0y + 1/2-y + 1/21/2
no extra conditions
24 i  . . 2 
1/2yy + 1/2 0, -y + 1/2y + 1/2 0, y-y 1/2-y + 1/2-y
y + 1/21/2yy + 1/2, 0, -y + 1/2 -y, 0, y -y1/2-y + 1/2
yy + 1/21/2 -y + 1/2y + 1/2, 0y-y, 0 -y + 1/2-y1/2
1/2-y-y + 1/2 0, y + 1/2-y + 1/2 0, -yy 1/2y + 1/2y
-y + 1/21/2-y -y + 1/2, 0, y + 1/2y, 0, -yy1/2y + 1/2
-y-y + 1/21/2y + 1/2-y + 1/2, 0 -yy, 0y + 1/2y1/2
no extra conditions
24 h  2 . . 
x1/43/4 -x + 1/21/43/4 3/4x1/4 3/4-x + 1/21/4 1/43/4x 1/43/4-x + 1/2
3/4x + 1/21/4 3/4-x1/4x + 1/21/43/4 -x1/43/4 1/43/4-x 1/43/4x + 1/2
-x3/41/4x + 1/23/41/4 1/4-x3/4 1/4x + 1/23/4 3/41/4-x 3/41/4x + 1/2
1/4-x + 1/23/4 1/4x3/4 -x + 1/23/41/4x3/41/4 3/41/4x 3/41/4-x + 1/2
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
12 g  2 . m m 
x1/41/4 -x + 1/21/41/4 1/4x1/4 1/4-x + 1/21/4 1/41/4x 1/41/4-x + 1/2
3/4x + 1/23/4 3/4-x3/4x + 1/23/43/4 -x3/43/4 3/43/4-x 3/43/4x + 1/2
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
12 f  2 . 2 2 
1/21/43/4 0, 1/43/4 3/41/21/4 3/4, 0, 1/4 1/43/41/2 1/43/4, 0
1/23/41/4 0, 3/41/4 1/41/23/4 1/4, 0, 3/4 3/41/41/2 3/41/4, 0
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
8 e  . 3 m 
xxx -x + 1/2-x + 1/2x -x + 1/2x-x + 1/2x-x + 1/2-x + 1/2
x + 1/2x + 1/2-x -x-x-xx + 1/2-xx + 1/2 -xx + 1/2x + 1/2
no extra conditions
6 d  -4 2 . m 
1/43/43/4 3/41/43/4 3/43/41/4 1/43/41/4 3/41/41/4 1/41/43/4
hkl: h  +  k  +  l  =  2n
4 c  . -3 m 
1/21/21/2 0, 0, 1/2 0, 1/2, 0 1/2, 0, 0
hkl: h  +  kh  +  lk  +  l  =  2n
4 b  . -3 m 
0, 0, 0 1/21/2, 0 1/2, 0, 1/2 0, 1/21/2
hkl: h  +  kh  +  lk  +  l  =  2n
2 a  -4 3 m 
1/41/41/4 3/43/43/4
hkl: h  +  k  +  l  =  2n

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/2(a - b)   b' = 1/2(a + b)   
Origin at 1/41/4z
Along [111]   p6mm
a' = 1/3(2a - b - c)   b' = 1/3(-a + 2b - c)   
Origin at xxx
Along [110]   p2mm
a' = 1/2(-a + b)   b' = c   
Origin at xx, 0








































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