Fm-3c Oh6 m-3m Cubic info
No. 226 F4/m-32/c Patterson symmetry Fm-3m

symmetry group diagram

Origin at centre (m -3)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 1/2; 0 ≤ y ≤ 1/4; 0 ≤ z ≤ 1/4; y ≤ min(x1/2 - x); zy
Vertices
0, 0, 0  1/2, 0, 0  1/41/4, 0  1/41/41/4  

Symmetry operations

For (0, 0, 0)+ set

(1)  1   (2)  2   0, 0, z(3)  2   0, y, 0(4)  2   x, 0, 0
(5)  3+   xxx(6)  3+   -xx-x(7)  3+   x-x-x(8)  3+   -x-xx
(9)  3-   xxx(10)  3-   x-x-x(11)  3-   -x-xx(12)  3-   -xx-x
(13)  2(1/21/2, 0)   xx1/4(14)  2   x-x + 1/21/4(15)  4-(0, 0, 1/2)   1/2, 0, z(16)  4+(0, 0, 1/2)   0, 1/2z
(17)  4-(1/2, 0, 0)   x1/2, 0(18)  2(0, 1/21/2)   1/4yy(19)  2   1/4y + 1/2-y(20)  4+(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/2
(21)  4+(0, 1/2, 0)   1/2y, 0(22)  2(1/2, 0, 1/2)   x1/4x(23)  4-(0, 1/2, 0)   0, y1/2(24)  2   -x + 1/21/4x
(25)  -1   0, 0, 0(26)  m   xy, 0(27)  m   x, 0, z(28)  m   0, yz
(29)  -3+   xxx; 0, 0, 0(30)  -3+   -xx-x; 0, 0, 0(31)  -3+   x-x-x; 0, 0, 0(32)  -3+   -x-xx; 0, 0, 0
(33)  -3-   xxx; 0, 0, 0(34)  -3-   x-x-x; 0, 0, 0(35)  -3-   -x-xx; 0, 0, 0(36)  -3-   -xx-x; 0, 0, 0
(37)  c   x + 1/2-xz(38)  n(1/21/21/2)   xxz(39)  -4-   0, 1/2z; 0, 1/21/4(40)  -4+   1/2, 0, z; 1/2, 0, 1/4
(41)  -4-   x, 0, 1/2; 1/4, 0, 1/2(42)  a   xy + 1/2-y(43)  n(1/21/21/2)   xyy(44)  -4+   x1/2, 0; 1/41/2, 0
(45)  -4+   0, y1/2; 0, 1/41/2(46)  b   -x + 1/2yx(47)  -4-   1/2y, 0; 1/21/4, 0(48)  n(1/21/21/2)   xyx

For (0, 1/21/2)+ set

(1)  t(0, 1/21/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   0, 1/4z(3)  2(0, 1/2, 0)   0, y1/4(4)  2   x1/41/4
(5)  3+(1/31/31/3)   x - 1/3x - 1/6x(6)  3+   -xx + 1/2-x(7)  3+(-1/31/31/3)   x + 1/3-x - 1/6-x(8)  3+   -x-x + 1/2x
(9)  3-(1/31/31/3)   x - 1/6x + 1/6x(10)  3-(-1/31/31/3)   x + 1/6-x + 1/6-x(11)  3-   -x + 1/2-x + 1/2x(12)  3-   -x - 1/2x + 1/2-x
(13)  2(1/41/4, 0)   xx - 1/4, 0(14)  2(1/4, -1/4, 0)   x-x + 1/4, 0(15)  4-   1/4, -1/4z(16)  4+   1/41/4z
(17)  4-(1/2, 0, 0)   x, 0, 0(18)  2   1/4yy(19)  2   1/4y-y(20)  4+(1/2, 0, 0)   x, 0, 0
(21)  4+   1/4y, -1/4(22)  2(1/4, 0, 1/4)   x + 1/4, 0, x(23)  4-   1/4y1/4(24)  2(1/4, 0, -1/4)   -x + 1/4, 0, x
(25)  -1   0, 1/41/4(26)  b   xy1/4(27)  c   x1/4z(28)  n(0, 1/21/2)   0, yz
(29)  -3+   xx + 1/2x; 0, 1/2, 0(30)  -3+   -x - 1, x + 1/2-x; -1/2, 0, 1/2(31)  -3+   x-x + 1/2-x; 0, 1/2, 0(32)  -3+   -x + 1, -x + 1/2x; 1/2, 0, 1/2
(33)  -3-   x - 1/2x - 1/2x; 0, 0, 1/2(34)  -3-   x + 1/2-x - 1/2-x; 0, 0, 1/2(35)  -3-   -x - 1/2-x + 1/2x; -1/21/2, 0(36)  -3-   -x + 1/2x + 1/2-x; 1/21/2, 0
(37)  g(1/4, -1/4, 0)   x + 1/4-xz(38)  g(1/41/4, 0)   x + 1/4xz(39)  -4-   1/41/4z; 1/41/4, 0(40)  -4+   1/4, -1/4z; 1/4, -1/4, 0
(41)  -4-   x, 0, 0; 1/4, 0, 0(42)  a   xy-y(43)  a   xyy(44)  -4+   x, 0, 0; 1/4, 0, 0
(45)  -4+   1/4y1/4; 1/4, 0, 1/4(46)  g(1/4, 0, -1/4)   -x + 1/4yx(47)  -4-   1/4y, -1/4; 1/4, 0, -1/4(48)  g(1/4, 0, 1/4)   x + 1/4yx

For (1/2, 0, 1/2)+ set

(1)  t(1/2, 0, 1/2)   (2)  2(0, 0, 1/2)   1/4, 0, z(3)  2   1/4y1/4(4)  2(1/2, 0, 0)   x, 0, 1/4
(5)  3+(1/31/31/3)   x + 1/6x - 1/6x(6)  3+(1/3, -1/31/3)   -x + 1/6x + 1/6-x(7)  3+   x + 1/2-x - 1/2-x(8)  3+   -x + 1/2-x + 1/2x
(9)  3-(1/31/31/3)   x - 1/6x - 1/3x(10)  3-   x + 1/2-x-x(11)  3-   -x + 1/2-xx(12)  3-(1/3, -1/31/3)   -x - 1/6x + 1/3-x
(13)  2(1/41/4, 0)   xx + 1/4, 0(14)  2(-1/41/4, 0)   x-x + 1/4, 0(15)  4-   1/41/4z(16)  4+   -1/41/4z
(17)  4-   x1/4, -1/4(18)  2(0, 1/41/4)   0, y + 1/4y(19)  2(0, 1/4, -1/4)   0, y + 1/4-y(20)  4+   x1/41/4
(21)  4+(0, 1/2, 0)   0, y, 0(22)  2   x1/4x(23)  4-(0, 1/2, 0)   0, y, 0(24)  2   -x1/4x
(25)  -1   1/4, 0, 1/4(26)  a   xy1/4(27)  n(1/2, 0, 1/2)   x, 0, z(28)  c   1/4yz
(29)  -3+   x - 1/2x - 1/2x; 0, 0, 1/2(30)  -3+   -x - 1/2x + 1/2-x; 0, 0, 1/2(31)  -3+   x + 1/2-x + 1/2-x; 1/21/2, 0(32)  -3+   -x + 1/2-x - 1/2x; 1/2, -1/2, 0
(33)  -3-   x + 1/2xx; 1/2, 0, 0(34)  -3-   x + 1/2-x - 1, -x; 0, -1/21/2(35)  -3-   -x + 1/2-x + 1, x; 0, 1/21/2(36)  -3-   -x + 1/2x-x; 1/2, 0, 0
(37)  g(-1/41/4, 0)   x + 1/4-xz(38)  g(1/41/4, 0)   x - 1/4xz(39)  -4-   -1/41/4z; -1/41/4, 0(40)  -4+   1/41/4z; 1/41/4, 0
(41)  -4-   x1/41/4; 0, 1/41/4(42)  g(0, 1/4, -1/4)   xy + 1/4-y(43)  g(0, 1/41/4)   xy + 1/4y(44)  -4+   x1/4, -1/4; 0, 1/4, -1/4
(45)  -4+   0, y, 0; 0, 1/4, 0(46)  b   -xyx(47)  -4-   0, y, 0; 0, 1/4, 0(48)  b   xyx

For (1/21/2, 0)+ set

(1)  t(1/21/2, 0)   (2)  2   1/41/4z(3)  2(0, 1/2, 0)   1/4y, 0(4)  2(1/2, 0, 0)   x1/4, 0
(5)  3+(1/31/31/3)   x + 1/6x + 1/3x(6)  3+   -x + 1/2x-x(7)  3+   x + 1/2-x-x(8)  3+(1/31/3, -1/3)   -x + 1/6-x + 1/3x
(9)  3-(1/31/31/3)   x + 1/3x + 1/6x(10)  3-   x-x + 1/2-x(11)  3-(1/31/3, -1/3)   -x + 1/3-x + 1/6x(12)  3-   -xx + 1/2-x
(13)  2   xx1/4(14)  2   x-x1/4(15)  4-(0, 0, 1/2)   0, 0, z(16)  4+(0, 0, 1/2)   0, 0, z
(17)  4-   x1/41/4(18)  2(0, 1/41/4)   0, y - 1/4y(19)  2(0, -1/41/4)   0, y + 1/4-y(20)  4+   x, -1/41/4
(21)  4+   1/4y1/4(22)  2(1/4, 0, 1/4)   x - 1/4, 0, x(23)  4-   -1/4y1/4(24)  2(-1/4, 0, 1/4)   -x + 1/4, 0, x
(25)  -1   1/41/4, 0(26)  n(1/21/2, 0)   xy, 0(27)  a   x1/4z(28)  b   1/4yz
(29)  -3+   x + 1/2xx; 1/2, 0, 0(30)  -3+   -x - 1/2x + 1, -x; 0, 1/21/2(31)  -3+   x - 1/2-x + 1, -x; 0, 1/2, -1/2(32)  -3+   -x + 1/2-xx; 1/2, 0, 0
(33)  -3-   xx + 1/2x; 0, 1/2, 0(34)  -3-   x + 1, -x - 1/2-x; 1/2, 0, 1/2(35)  -3-   -x-x + 1/2x; 0, 1/2, 0(36)  -3-   -x + 1, x - 1/2-x; 1/2, 0, -1/2
(37)  c   x-xz(38)  c   xxz(39)  -4-   0, 0, z; 0, 0, 1/4(40)  -4+   0, 0, z; 0, 0, 1/4
(41)  -4-   x, -1/41/4; 0, -1/41/4(42)  g(0, -1/41/4)   xy + 1/4-y(43)  g(0, 1/41/4)   xy - 1/4y(44)  -4+   x1/41/4; 0, 1/41/4
(45)  -4+   -1/4y1/4; -1/4, 0, 1/4(46)  g(-1/4, 0, 1/4)   -x + 1/4yx(47)  -4-   1/4y1/4; 1/4, 0, 1/4(48)  g(1/4, 0, 1/4)   x - 1/4yx

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); t(0, 0, 1); t(0, 1/21/2); t(1/2, 0, 1/2); (2); (3); (5); (13); (25)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates Reflection conditions
 (0, 0, 0)+  (0, 1/21/2)+  (1/2, 0, 1/2)+  (1/21/2, 0)+  h, k, l permutable
General:
192 j 1
(1) xyz(2) -x-yz(3) -xy-z(4) x-y-z
(5) zxy(6) z-x-y(7) -z-xy(8) -zx-y
(9) yzx(10) -yz-x(11) y-z-x(12) -y-zx
(13) y + 1/2x + 1/2-z + 1/2(14) -y + 1/2-x + 1/2-z + 1/2(15) y + 1/2-x + 1/2z + 1/2(16) -y + 1/2x + 1/2z + 1/2
(17) x + 1/2z + 1/2-y + 1/2(18) -x + 1/2z + 1/2y + 1/2(19) -x + 1/2-z + 1/2-y + 1/2(20) x + 1/2-z + 1/2y + 1/2
(21) z + 1/2y + 1/2-x + 1/2(22) z + 1/2-y + 1/2x + 1/2(23) -z + 1/2y + 1/2x + 1/2(24) -z + 1/2-y + 1/2-x + 1/2
(25) -x-y-z(26) xy-z(27) x-yz(28) -xyz
(29) -z-x-y(30) -zxy(31) zx-y(32) z-xy
(33) -y-z-x(34) y-zx(35) -yzx(36) yz-x
(37) -y + 1/2-x + 1/2z + 1/2(38) y + 1/2x + 1/2z + 1/2(39) -y + 1/2x + 1/2-z + 1/2(40) y + 1/2-x + 1/2-z + 1/2
(41) -x + 1/2-z + 1/2y + 1/2(42) x + 1/2-z + 1/2-y + 1/2(43) x + 1/2z + 1/2y + 1/2(44) -x + 1/2z + 1/2-y + 1/2
(45) -z + 1/2-y + 1/2x + 1/2(46) -z + 1/2y + 1/2-x + 1/2(47) z + 1/2-y + 1/2-x + 1/2(48) z + 1/2y + 1/2x + 1/2
hkl: h + k = 2n
and h + lk + l = 2n
0kl: kl = 2n
hhl: hl = 2n
h00: h = 2n
    Special: as above, plus
96 i  m . . 
0, yz 0, -yz 0, y-z 0, -y-z
z, 0, yz, 0, -y -z, 0, y -z, 0, -y
yz, 0 -yz, 0y-z, 0 -y-z, 0
y + 1/21/2-z + 1/2 -y + 1/21/2-z + 1/2y + 1/21/2z + 1/2 -y + 1/21/2z + 1/2
1/2z + 1/2-y + 1/2 1/2z + 1/2y + 1/2 1/2-z + 1/2-y + 1/2 1/2-z + 1/2y + 1/2
z + 1/2y + 1/21/2z + 1/2-y + 1/21/2 -z + 1/2y + 1/21/2 -z + 1/2-y + 1/21/2
no extra conditions
96 h  . . 2 
1/4yy 3/4-yy 3/4y-y 1/4-y-yy1/4yy3/4-y
-y3/4y -y1/4-yyy1/4 -yy3/4y-y3/4 -y-y1/4
3/4-y-y 1/4y-y 1/4-yy 3/4yy -y3/4-y -y1/4y
y1/4-yy3/4y -y-y3/4y-y1/4 -yy1/4yy3/4
hkl: h  =  2n
64 g  . 3 . 
xxx -x-xx
-xx-xx-x-x
x + 1/2x + 1/2-x + 1/2 -x + 1/2-x + 1/2-x + 1/2
x + 1/2-x + 1/2x + 1/2 -x + 1/2x + 1/2x + 1/2
-x-x-xxx-x
x-xx -xxx
-x + 1/2-x + 1/2x + 1/2x + 1/2x + 1/2x + 1/2
-x + 1/2x + 1/2-x + 1/2x + 1/2-x + 1/2-x + 1/2
hkl: h  =  2n
48 f  4 . . 
x1/41/4 -x3/41/4 1/4x1/4 1/4-x3/4 1/41/4x 3/41/4-x
-x3/43/4x1/43/4 3/4-x3/4 3/4x1/4 3/43/4-x 1/43/4x
hkl: h  =  2n
48 e  m m 2 . . 
x, 0, 0 -x, 0, 0 0, x, 0 0, -x, 0
0, 0, x 0, 0, -x 1/2x + 1/21/2 1/2-x + 1/21/2
x + 1/21/21/2 -x + 1/21/21/2 1/21/2-x + 1/2 1/21/2x + 1/2
hkl: h  =  2n
24 d  4/m . . 
0, 1/41/4 0, 3/41/4 1/4, 0, 1/4 1/4, 0, 3/4 1/41/4, 0 3/41/4, 0
hkl: h  =  2n
24 c  -4 m . 2 
1/4, 0, 0 3/4, 0, 0 0, 1/4, 0 0, 3/4, 0 0, 0, 1/4 0, 0, 3/4
hkl: h  =  2n
8 b  m -3 . 
0, 0, 0 1/21/21/2
hkl: h  =  2n
8 a  4 3 2 
1/41/41/4 3/43/43/4
hkl: h  =  2n

Symmetry of special projections

Along [001]   p4mm
a' = 1/2a   b' = 1/2b   
Origin at 0, 0, z
Along [111]   p6mm
a' = 1/6(2a - b - c)   b' = 1/6(-a + 2b - c)   
Origin at xxx
Along [110]   p2mm
a' = 1/4(-a + b)   b' = 1/2c   
Origin at xx, 0








































to end of page
to top of page