International
Tables for
Crystallography
Volume D
Physical properties of crystals
Edited by A. Authier

International Tables for Crystallography (2013). Vol. D, ch. 3.1, pp. 372-377

## Table 3.1.3.1

V. Janovecb* and V. Kopskýe
 Table 3.1.3.1| top | pdf | Point-group symmetry descents associated with irreducible representations
 Property tensors that appear in this table: enantiomorphism, chirality; dielectric polarization; strain; optical activity; piezoelectric tensor; electrogyration tensor; piezo-optic tensor (; ). Applications of this table to symmetry analysis of equitranslational phase transitions and to changes of property tensors at ferroic transitions are explained in Section 3.1.3.3. (a) Triclinic parent groups
R-irep Standard variablesFerroic symmetryPrincipal tensor parametersDomain states
Parent symmetry :
No ferroic symmetry descent
Parent symmetry :
All components of odd parity tensors 2 1 2
 (b) Monoclinic parent groups
R-irep Standard variablesFerroic symmetryPrincipal tensor parametersDomain states
Parent symmetry :
B 1 1 , ; 2 2 2
Parent symmetry :
1 1 ; ; 2 2 2
Parent symmetry :
1 2 2 0
1 ; 2 1 2
1 2 1 2
 (c) Orthorhombic parent groups
R-irep Standard variablesFerroic symmetryPrincipal tensor parametersDomain states
Parent symmetry :
1 ; 2 2 2
1 ; 2 2 2
1 ; 2 2 2
Parent symmetry :
1 2 2 1
1 ; 2 2 2
1 ; 2 2 2
Parent symmetry :
1 2 2 0
1 2 2 0
1 2 2 0
1 ; , , ; , , 2 1 0
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
 (d) Tetragonal parent groups
R-irep Standard variablesFerroic symmetryPrincipal tensor parametersDomain states
Parent symmetry :
B 1 , 2 2 1
1 ; 4 4 4
(Li)
Parent symmetry :
B 1 ; ; , 2 2 2
1 ; 4 4 4
Parent symmetry :
1 , 2 2 0
1 ; 2 1 2
1 , ; , , , 2 1 0
1 4 4 0
1 4 2 4
Parent symmetry :
1 2 1 2
1 2 2 0
1 2 2 0
E 2 ; 4 4 4
2 ; 4 4 4
(Li) 1 ; 8 8 8
Parent symmetry :
1 ; , ; 2 1 1
1 2 2 1
1 2 2 1
E 2 ; 4 4 4
2 ; 4 4 4
1 ; 8 8 8
Parent symmetry :
1 ; , 2 1 0
1 ; 2 2 0
1 ; 2 2 2
E 2 ; 4 4 4
2 ; 4 4 4
1 ; 8 8 8
Parent symmetry :
1 ; , 2 1 0
1 ; 2 2 2
1 ; 2 2 0
E 2 ; 4 4 4
2 ; 4 4 4
1 ; 8 8 8
Parent symmetry :
1 , , 2 1 0
1 2 2 0
1 2 2 0
1 ; , ; 2 1 0
1 2 1 2
1 ; , 2 1 0
1 ; , 2 1 0
2 4 4 0
2 4 4 0
1 8 8 0
2 4 2 4
2 4 2 4
1 8 8 8
 (e) Trigonal parent groups
R-irep Standard variablesFerroic symmetryPrincipal tensor parametersDomain states
Parent symmetry :
E 1 (, ) 3 3 3
(, ), (, )
(La, Li)
Parent symmetry :
1 ; 2 1 2
1 (, ), (, ) 3 3 0
(La)
1 (, ) 6 3 6
Parent symmetry :
1 2 1 2
E 3 ; , 3 3 3
(La, Li) 1 (, ); (, ), (, ) 6 6 6
Parent symmetry :
1 ; , ; , 2 1 1
E 3 ; , 3 3 3
(La) 1 (, ); (, ), (, ) 6 6 6
Parent symmetry :
1 , , , 2 1 0
1 ; , ; , 2 1 0
1 2 1 2
3 , 3 3 0
(La) 1 (, ), (, ) 6 6 0
3 6 3 6
3 6 3 6
1 (, ) 12 6 12
Parent symmetry :
1 2 1 2
E 3 ; , 3 3 3
(La, Li) 1 (, ); (, ), (, ) 6 6 6
Parent symmetry :
1 ; , ; , 2 1 1
E 3 ; , 3 3 3
(La) 1 (, ); (, ), (, ) 6 6 6
Parent symmetry :
1 , , , 2 1 0
1 ; , ; , 2 1 0
1 2 1 2
3 , 3 3 0
(La) 1 (, ), (, ) 6 6 0
3 6 3 6
3 6 3 6
1 (, ) 12 6 12
 (f) Hexagonal parent groups Covariants with standardized labels and conversion equations:
R-irep Standard variablesFerroic symmetryPrincipal tensor parametersDomain states
Parent symmetry :
B 1 , 2 1 1
1 (, ) 3 3 1
(La, Li)
1 (,) 6 6 6
(Li)         (, )
Parent symmetry :
1 ; 2 1 2
1 (, ) 3 3 3
(La)         (, )
1 (, ) 6 6 6
Parent symmetry :
1 , 2 1 0
1 ; 2 1 2
1 , 2 1 0
1 (, ) 3 3 0
(La)
1 (, ) 6 6 0
1 (, ) , 6 3 2
(, ) ,
(, ) ,
1 (, ) 6 3 6
Parent symmetry :
1 2 1 2
1 2 1 0
1 2 1 0
3 3 3 0
(La, Li) 1 (, ) 6 6 2
3 ; 6 6 6
3 ; 6 6 6
(Li) 1 (, ); (, 12 12 12
Parent symmetry :
1 ; , ; 2 1 1
1 2 1 1
1 2 1 1
3 3 3 1
(La) 1 (, ) 6 6 1
3 ; 6 6 6
3 ; 6 6 6
1 (, ); (, ) 12 12 12
Parent symmetry :
1 2 1 0
1 ; , ; 2 1 0
1 2 1 2
3 ; 3 3 3
(La) 1 (,); (, ) 6 6 6
3 6 6 3
3 6 6 6
1 (, ) 12 12 12
Parent symmetry :
1 2 1 0
1 2 1 2
1 ; , ; 2 1 0
3 ; 3 3 3
(La) 1 (, ); (, ) 6 6 6
3 6 6 6
3 6 6 3
1 (, ) 12 12 12
Parent symmetry :
1 , , 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
1 ; , ; 2 1 0
1 2 1 2
1 2 1 0
1 2 1 0
3 3 3 0
(La) 1 (, ) 6 6 0
3 6 6 0
3 6 6 0
1 (, ) 12 12 0
3 6 3 6
3 6 3 6
1 (, ) 12 6 12
3 ; , 6 3 0
3 : , 6 3 2
1 (, ); , 12 6 2
 (g) Cubic parent groups Covariants with standardized labels and conversion equations: , , , , .
R-irep Standard variablesFerroic symmetryPrincipal tensor parametersDomain states
Parent symmetry :
E 1 [, 3 3 0
(La)
T 3 ; 6 6 6
4 ; 4 4 4
(La, Li) 1 (, , ); (, , ) 12 12 12
Parent symmetry :
T 1 ; ; 2 1 0
1 [, 3 3 0
(La)
1 [, 6 3 0

[, ]

3 6 6 0
4 4 4 0
(La) 1 (, , ) 12 12 0
3 6 3 6
4 8 4 8
1 (, , ) 24 12 24
Parent symmetry :
T 1 2 1 0
E 3 3 3 0
(La) 1 , 6 6 0

3 6 3 6
6 12 12 12
4 8 4 8
(Li) 1 (, , ) 24 24 24
3 6 6 0
6 , 12 12 12
4 4 4 0
(La, Li) 1 (, , ) 24 24 24
Parent symmetry :
T 1 ; 2 1 0
;
E 3 3 3 0
(La) 1 [, 6 6 0

3 ; , 6 3 0
6 12 12 12
,
,
4 8 4 4

1 (, , ) 24 24 24
(, , )
(, , )
3 ; 6 6 6
6 , ; , 12 12 12
4 ; 4 4 4
(La) 1 (, , ); (, , ) 24 24 24
Parent symmetry :
1 ; 2 1 0
O 1 ; ; 2 1 0
1 2 1 0
3 3 3 0
(La) 1 , 6 6 0
3 , ; 12 3 0
3 ; 6 3 0
1 [, 12 6 0

3 , , 6 3 0
6 , 12 12 0
,
,
4 8 4 0
,
,
1 (, , ) 24 24 0
(, , )
(, , )
3 6 6 0
6 , 24 12 12
4 4 4 0
(La) 1 (, , ) 24 24 0
3 6 3 6
3 , 24 12 24
6 12 6 12
6 , 24 12 24
4 8 4 8
1 (, , ) 48 24 48
3 ; , 6 3 0
3 , ; , , , 24 12 24
, , ,
6 ; , 12 6 12
,
6 , ; , 24 12 12
,
,
4 ; 8 4 0

1 (, , ) 48 24 48
(, , )
(, , )