p6/mmm 6/mmm Hexagonal/Hexagonal
No. 80 p6/mmm Patterson symmetry p6/mmm

symmetry group diagram

Origin at centre (6/mmm)

Asymmetric unit 0 ≤ x ≤ 2/3; 0 ≤ y ≤ 1/3; x ≤ (1 + y)/2; y ≤ x/2; 0 ≤ z
Vertices
0, 0   1/2, 0   2/31/3  

Symmetry operations

(1)  1
      (1 | 0, 0, 0)
(2)  3+   0, 0, z
      (3z | 0, 0, 0)
(3)  3-   0, 0, z
      (3z-1 | 0, 0, 0)
(4)  2   0, 0, z
      (2z | 0, 0, 0)
(5)  6-   0, 0, z
      (6z-1 | 0, 0, 0)
(6)  6+   0, 0, z
      (6z | 0, 0, 0)
(7)  2   xx, 0
      (2xy | 0, 0, 0)
(8)  2   x, 0, 0
      (2x | 0, 0, 0)
(9)  2   0, y, 0
      (2y | 0, 0, 0)
(10)  2   x-x, 0
      (23 | 0, 0, 0)
(11)  2   x, 2x, 0
      (22 | 0, 0, 0)
(12)  2   2xx, 0
      (21 | 0, 0, 0)
(13)  -1   0, 0, 0
      (-1 | 0, 0, 0)
(14)  -3+   0, 0, z; 0, 0, 0
      (-3z | 0, 0, 0)
(15)  -3-   0, 0, z; 0, 0, 0
      (-3z-1 | 0, 0, 0)
(16)  m   xy, 0
      (mz | 0, 0, 0)
(17)  -6-   0, 0, z; 0, 0, 0
      (-6z-1 | 0, 0, 0)
(18)  -6+   0, 0, z; 0, 0, 0
      (-6z | 0, 0, 0)
(19)  m   x-xz
      (mxy | 0, 0, 0)
(20)  m   x, 2xz
      (mx | 0, 0, 0)
(21)  m   2xxz
      (my | 0, 0, 0)
(22)  m   xxz
      (m3 | 0, 0, 0)
(23)  m   x, 0, z
      (m2 | 0, 0, 0)
(24)  m   0, yz
      (m1 | 0, 0, 0)

Generators selected (1); t(1, 0, 0); t(0, 1, 0); (2); (4); (7); (13)

Positions

Multiplicity, Wyckoff letter,
Site symmetry
Coordinates Reflection conditions

  General:
24 l 1
(1) xyz (2) -yx - yz (3) -x + y-xz
(4) -x-yz (5) y-x + yz (6) x - yxz
(7) yx-z (8) x - y-y-z (9) -x-x + y-z
(10) -y-x-z (11) -x + yy-z (12) xx - y-z
(13) -x-y-z (14) y-x + y-z (15) x - yx-z
(16) xy-z (17) -yx - y-z (18) -x + y-x-z
(19) -y-xz (20) -x + yyz (21) xx - yz
(22) yxz (23) x - y-yz (24) -x-x + yz
no conditions
    Special: no extra conditions
12 k  m . . 
xy, 0 -yx - y, 0 -x + y-x, 0 -x-y, 0 y-x + y, 0 x - yx, 0
yx, 0 x - y-y, 0 -x-x + y, 0 -y-x, 0 -x + yy, 0 xx - y, 0
12 j  . m . 
x, 2xz -(2x), -xz x-xz -x, -(2x), z 2xxz -xxz
2xx-z -x, -(2x), -z -xx-z -(2x), -x-z x, 2x-z x-x-z
12 i  . . m 
x, 0, z 0, xz -x-xz -x, 0, z 0, -xz xxz
0, x-z x, 0, -z -x-x-z 0, -x-z -x, 0, -z xx-z
6 h  m m 2 
x, 2x, 0 -(2x), -x, 0 x-x, 0 -x, -(2x), 0 2xx, 0 -xx, 0
6 g  m 2 m 
x, 0, 0 0, x, 0 -x-x, 0 -x, 0, 0 0, -x, 0 xx, 0
6 f  2 m m 
1/2, 0, z 0, 1/2z 1/21/2z 0, 1/2-z 1/2, 0, -z 1/21/2-z
4 e  3 m . 
1/32/3z 2/31/3z 2/31/3-z 1/32/3-z
3 d  m m m 
1/2, 0, 0 0, 1/2, 0 1/21/2, 0
2 c  6 m m 
0, 0, z 0, 0, -z
2 b  -6 m 2 
1/32/3, 0 2/31/3, 0
1 a  6/m m m 
0, 0, 0

Symmetry of special projections

Along [001]   p6mm
a' = a   b' = b   
Origin at 0, 0, z
Along [100]   [script p]2mm
a' = 1/2(a + 2b)   
Origin at x, 0, 0
Along [210]   [script p]2mm
a' = 1/2b   
Origin at x1/2x, 0

Maximal non-isotypic subgroups


I [2] p-62m (79) 1; 2; 3; 7; 8; 9; 16; 17; 18; 22; 23; 24
  [2] p-6m2 (78) 1; 2; 3; 10; 11; 12; 16; 17; 18; 19; 20; 21
  [2] p6mm (77) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 19; 20; 21; 22; 23; 24
  [2] p622 (76) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
  [2] p6/m11 (p6/m, 75) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 13; 14; 15; 16; 17; 18
  [2] p-3m1 (72) 1; 2; 3; 7; 8; 9; 13; 14; 15; 19; 20; 21
  [2] p-31m (71) 1; 2; 3; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 22; 23; 24
  [3] pmmm (cmmm, 47) 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22
  [3] pmmm (cmmm, 47) 1; 4; 8; 11; 13; 16; 20; 23
  [3] pmmm (cmmm, 47) 1; 4; 9; 12; 13; 16; 21; 24
IIa none
IIb none

Maximal isotypic subgroups of lowest index


IIc [3] h6/mmm (a' = 3ab' = 3b) (p6/mmm, 80)

Minimal non-isotypic supergroups


I none
II none








































to end of page
to top of page